동적 계획 알고리즘

동적 계획법이란?

- 복잡한 문제를 푸는 알고리즘의 한 종류

 

- 큰 문제를 작은 문제로 나누고 작은 문제를 먼저 해결한 뒤에 결과를 바탕으로 큰 문제의 해답을 찾는 방법이다.

 

- 이 때 계산한 작은 문제의 값을 저장해 두는 메모리를 캐시(cache)라고 부른다.

 

 

동적 계획법의 조건

1. Overlapping Subproblem : 겹치는 부분(작은) 문제 (중복되는 부분문제)
   • 어떤 문제가 여러 개의 부분 문제로 쪼개질 수 있음
   • 재귀 알고리즘
   • 피보나치 수열이 대표적인 예시
2. Optimal Substructure : 최적 부분구조
   • 문제의 최적의 해결책이 그 부분 문제의 최적의 해결책으로부터 설계될 수 있음
   • 문제의 정답을 작은 문제의 정답에서부터 구할 수 있다.
   • 그리디 알고리즘의 유용성을 판별하는데 사용되기도 한다.
   • 최단 경로 문제가 대표적인 예시

(예시)
• 서울에서 부산을 가는 가장 빠른 길이 대전과 대구를 순서대로 거쳐야 한다면
• 대전에서 부산을 가는 가장 빠른 길은 대구를 거쳐야 한다.

서울->대전->대구->부산 : 가장 빠른 경로

Q) 대전->부산
A) 대전->대구->부산 : 가장 빠른 경로

만약 가장 빠른 경로가 서울->대전->울산->부산 이라면

Q) 대전->부산
A) 대전->울산->부산 : 가장 빠른 경로

 

 

 

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동적 계획 알고리즘을 적용할 수 있는 문제들

 

1. 피보나치 수열

하나의 수열 항목을 구하는 것에 대한 점화식을 알게 되면, 이를 반복하여 큰 문제에 대한 해답을 알 수 있다.

 

n = int(input())

def fib(n):
    if n <= 0:
        return 1
    return fib(n-1) + fib(n-2)

print(fib(n))

 

2. 최단 경로 문제

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])